Matrice d'incidence pour la loi de Kirchhoff des courants - Exemple du pont de Wheatstone

Un pont de Wheastone est un instrument de mesure inventé par Samuel Hunter Christie en 1833, puis amélioré par Charles Wheatsone en 1843. Il est utilisé pour mesurer une résistance électrique inconnue par équilibrage de deux branches d'un circuit en pont, dont une branche contient le composant inconnu.

La résistance inconnue est  \(R_x\) . 

Les résistances  \(R_1\)  et  \(R_3\)  ont une valeur fixe connue, et la résistance  \(R_2\)  est ajustable afin d'équilibrer le pont. On considère que le pont est équilibré quand le courant qui circule entre B et C est nul, ce dont on s'assure en vérifiant grâce au voltmètre V que la différence de potentiel entre B et C est nulle.

Une variante considère une résistance fixe pour  \(R_2\)  et une résistance  \(R_4\)  entre les points B et C.

On obtient alors le schéma ci-dessous, qui peut être vu comme un graphe orienté :

C'est un graphe orienté à 4 sommets (A, B, C et D) et 6 arcs (AB, AC, BC, BD, CD, DA). Sa matrice d'incidence a donc 4 lignes et 6 colonnes.
La voici :

\(M=\begin{pmatrix}-1&-1&0&0&0&1\\1&0&-1&-1&0&0\\0&1&1&0&-1&0\\0&0&0&1&1&-1\end{pmatrix}\)

Chaque colonne contient un  \(-1\)  pour le départ de l'arc et un  \(1\)  pour l'arrivée de l'arc (la somme de ses coefficients est évidemment nulle).

La somme des coefficients de chaque ligne compte le degré du sommet correspondant.

Posons  \(J=\begin{pmatrix}I_{AB}\\I_{AC}\\I_{BC}\\I_{BD}\\I_{CD}\\I_{DA}\end{pmatrix}\)

J est la matrice colonne qui représente les courants dans chaque branche du circuit.
Le produit  \(MJ = O\)  avec  \(O\)  la matrice nulle de taille  \(6\times1\)  permet d'écrire la loi de Kirchhoff des courants.